将 $$$x^{2}$$$ 除以 $$$x + 1$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x+1&x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x \left(x+1\right) = x^{2}+x$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}+x\right) = - x$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Red}x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+1&{\color{Red}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Red}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&+x&&{\color{Red}x} \left(x+1\right) = x^{2}+x\\\hline\\&&- x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- x}{x} = -1$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- \left(x+1\right) = - x-1$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- x\right) - \left(- x-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&x&{\color{Violet}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+1&x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{Violet}- x}&+0&\frac{{\color{Violet}- x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}-1}\\&&-\phantom{- x}&&\\&&- x&-1&{\color{Violet}-1} \left(x+1\right) = - x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Red}x}&{\color{Violet}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}+1&{\color{Red}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Red}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Red}x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&+x&&{\color{Red}x} \left(x+1\right) = x^{2}+x\\\hline\\&&{\color{Violet}- x}&+0&\frac{{\color{Violet}- x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Violet}-1}\\&&-\phantom{- x}&&\\&&- x&-1&{\color{Violet}-1} \left(x+1\right) = - x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{2}}{x + 1} = \left(x - 1\right) + \frac{1}{x + 1}$$$。