将 $$$x^{4}$$$ 除以 $$$x^{2} - 1$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Chartreuse}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Chartreuse}x^{2}}&{\color{SaddleBrown}+1}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Chartreuse}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Chartreuse}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Chartreuse}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Chartreuse}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$。