将 $$$x^{2} - x$$$ 除以 $$$x + 1$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x+1&x^{2}- x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$x \left(x+1\right) = x^{2}+x$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{2}- x\right) - \left(x^{2}+x\right) = - 2 x$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Blue}x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+1&{\color{Blue}x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&+x&&{\color{Blue}x} \left(x+1\right) = x^{2}+x\\\hline\\&&- 2 x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- 2 x}{x} = -2$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- 2 \left(x+1\right) = - 2 x-2$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- 2 x\right) - \left(- 2 x-2\right) = 2$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&x&{\color{DarkCyan}-2}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}+1&x^{2}&- x&+0&\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{DarkCyan}- 2 x}&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- 2 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}-2}\\&&-\phantom{- 2 x}&&\\&&- 2 x&-2&{\color{DarkCyan}-2} \left(x+1\right) = - 2 x-2\\\hline\\&&&2&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Blue}x}&{\color{DarkCyan}-2}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}x}+1&{\color{Blue}x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Blue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Blue}x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&+x&&{\color{Blue}x} \left(x+1\right) = x^{2}+x\\\hline\\&&{\color{DarkCyan}- 2 x}&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- 2 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}-2}\\&&-\phantom{- 2 x}&&\\&&- 2 x&-2&{\color{DarkCyan}-2} \left(x+1\right) = - 2 x-2\\\hline\\&&&2&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{2} - x}{x + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2}{x + 1}$$$。