将 $$$9 x^{3} + 11 x - 3$$$ 除以 $$$3 x + 2$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\3 x+2&9 x^{3}+0 x^{2}+11 x-3\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{9 x^{3}}{3 x} = 3 x^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$3 x^{2} \left(3 x+2\right) = 9 x^{3}+6 x^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(9 x^{3}+11 x-3\right) - \left(9 x^{3}+6 x^{2}\right) = - 6 x^{2}+11 x-3$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{GoldenRod}3 x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&{\color{GoldenRod}9 x^{3}}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\frac{{\color{GoldenRod}9 x^{3}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{GoldenRod}3 x^{2}}\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{GoldenRod}3 x^{2}} \left(3 x+2\right) = 9 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&- 6 x^{2}&+11 x&-3&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- 6 x^{2}}{3 x} = - 2 x$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- 2 x \left(3 x+2\right) = - 6 x^{2}- 4 x$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- 6 x^{2}+11 x-3\right) - \left(- 6 x^{2}- 4 x\right) = 15 x-3$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&3 x^{2}&{\color{Purple}- 2 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&9 x^{3}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Purple}- 6 x^{2}}&+11 x&-3&\frac{{\color{Purple}- 6 x^{2}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{Purple}- 2 x}\\&&-\phantom{- 6 x^{2}}&&&\\&&- 6 x^{2}&- 4 x&&{\color{Purple}- 2 x} \left(3 x+2\right) = - 6 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&15 x&-3&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{15 x}{3 x} = 5$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$5 \left(3 x+2\right) = 15 x+10$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(15 x-3\right) - \left(15 x+10\right) = -13$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&3 x^{2}&- 2 x&{\color{DarkMagenta}+5}&&\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&9 x^{3}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 6 x^{2}&+11 x&-3&\\&&-\phantom{- 6 x^{2}}&&&\\&&- 6 x^{2}&- 4 x&&\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}15 x}&-3&\frac{{\color{DarkMagenta}15 x}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{DarkMagenta}5}\\&&&-\phantom{15 x}&&\\&&&15 x&+10&{\color{DarkMagenta}5} \left(3 x+2\right) = 15 x+10\\\hline\\&&&&-13&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{GoldenRod}3 x^{2}}&{\color{Purple}- 2 x}&{\color{DarkMagenta}+5}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}3 x}+2&{\color{GoldenRod}9 x^{3}}&+0 x^{2}&+11 x&-3&\frac{{\color{GoldenRod}9 x^{3}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{GoldenRod}3 x^{2}}\\&-\phantom{9 x^{3}}&&&&\\&9 x^{3}&+6 x^{2}&&&{\color{GoldenRod}3 x^{2}} \left(3 x+2\right) = 9 x^{3}+6 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Purple}- 6 x^{2}}&+11 x&-3&\frac{{\color{Purple}- 6 x^{2}}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{Purple}- 2 x}\\&&-\phantom{- 6 x^{2}}&&&\\&&- 6 x^{2}&- 4 x&&{\color{Purple}- 2 x} \left(3 x+2\right) = - 6 x^{2}- 4 x\\\hline\\&&&{\color{DarkMagenta}15 x}&-3&\frac{{\color{DarkMagenta}15 x}}{{\color{Magenta}3 x}} = {\color{DarkMagenta}5}\\&&&-\phantom{15 x}&&\\&&&15 x&+10&{\color{DarkMagenta}5} \left(3 x+2\right) = 15 x+10\\\hline\\&&&&-13&\end{array}$$

因此，$$$\frac{9 x^{3} + 11 x - 3}{3 x + 2} = \left(3 x^{2} - 2 x + 5\right) + \frac{-13}{3 x + 2}$$$。