将 $$$x^{3} - 1$$$ 除以 $$$1 - x^{2}$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- x^{2}+1&x^{3}+0 x^{2}+0 x-1\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{3}}{- x^{2}} = - x$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- x \left(- x^{2}+1\right) = x^{3}- x$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{3}-1\right) - \left(x^{3}- x\right) = x-1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}- x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x^{2}}+1&{\color{DeepPink}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}- x^{2}}} = {\color{DeepPink}- x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&- x&&{\color{DeepPink}- x} \left(- x^{2}+1\right) = x^{3}- x\\\hline\\&&&x&-1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}- x}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- x^{2}}+1&{\color{DeepPink}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&-1&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}- x^{2}}} = {\color{DeepPink}- x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&- x&&{\color{DeepPink}- x} \left(- x^{2}+1\right) = x^{3}- x\\\hline\\&&&x&-1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{3} - 1}{1 - x^{2}} = - x + \frac{x - 1}{1 - x^{2}}$$$。