将 $$$y^{3}$$$ 除以 $$$1 - y$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{OrangeRed}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{OrangeRed}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{OrangeRed}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{OrangeRed}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{OrangeRed}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{Green}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Green}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Green}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Green}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

步骤 3

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Purple}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Purple}y}&+0&\frac{{\color{Purple}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Purple}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Purple}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{OrangeRed}- y^{2}}&{\color{Green}- y}&{\color{Purple}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{OrangeRed}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{OrangeRed}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{OrangeRed}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{OrangeRed}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{Green}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Green}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Green}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Purple}y}&+0&\frac{{\color{Purple}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Purple}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Purple}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$。