将 $$$x^{2}$$$ 除以 $$$1 - x$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- x+1&x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x^{2}}{- x} = - x$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- x \left(- x+1\right) = x^{2}- x$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Peru}- x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&{\color{Peru}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{2}}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Peru}- x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&{\color{Peru}- x} \left(- x+1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&x&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{x}{- x} = -1$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- \left(- x+1\right) = x-1$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&- x&{\color{GoldenRod}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}x}&+0&\frac{{\color{GoldenRod}x}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{GoldenRod}-1}\\&&-\phantom{x}&&\\&&x&-1&{\color{GoldenRod}-1} \left(- x+1\right) = x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{Peru}- x}&{\color{GoldenRod}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- x}+1&{\color{Peru}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{2}}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{Peru}- x}\\&-\phantom{x^{2}}&&&\\&x^{2}&- x&&{\color{Peru}- x} \left(- x+1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}x}&+0&\frac{{\color{GoldenRod}x}}{{\color{Magenta}- x}} = {\color{GoldenRod}-1}\\&&-\phantom{x}&&\\&&x&-1&{\color{GoldenRod}-1} \left(- x+1\right) = x-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{x^{2}}{1 - x} = \left(- x - 1\right) + \frac{1}{1 - x}$$$。