将 $$$u^{2}$$$ 除以 $$$1 - u$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- u+1&u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{u^{2}}{- u} = - u$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- u \left(- u+1\right) = u^{2}- u$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{GoldenRod}- u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&{\color{GoldenRod}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{GoldenRod}u^{2}}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{GoldenRod}- u}\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&{\color{GoldenRod}- u} \left(- u+1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&u&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{u}{- u} = -1$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- \left(- u+1\right) = u-1$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrr:c}&- u&{\color{DarkBlue}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}u}&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{DarkBlue}-1}\\&&-\phantom{u}&&\\&&u&-1&{\color{DarkBlue}-1} \left(- u+1\right) = u-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{GoldenRod}- u}&{\color{DarkBlue}-1}&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&{\color{GoldenRod}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{GoldenRod}u^{2}}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{GoldenRod}- u}\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&{\color{GoldenRod}- u} \left(- u+1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&{\color{DarkBlue}u}&+0&\frac{{\color{DarkBlue}u}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{DarkBlue}-1}\\&&-\phantom{u}&&\\&&u&-1&{\color{DarkBlue}-1} \left(- u+1\right) = u-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{2}}{1 - u} = \left(- u - 1\right) + \frac{1}{1 - u}$$$。