将 $$$v^{4}$$$ 除以 $$$v^{2} + 1$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{BlueViolet}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{BlueViolet}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{BlueViolet}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{BlueViolet}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{BlueViolet}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{Chocolate}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Chocolate}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{BlueViolet}v^{2}}&{\color{Chocolate}-1}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{BlueViolet}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{BlueViolet}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{BlueViolet}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{BlueViolet}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Chocolate}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

因此，$$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$。