将 $$$v^{3}$$$ 除以 $$$v^{2} + 1$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{v^{3}}{v^{2}} = v$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$v \left(v^{2}+1\right) = v^{3}+v$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(v^{3}\right) - \left(v^{3}+v\right) = - v$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}v}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{DeepPink}v^{3}}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{DeepPink}v^{3}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DeepPink}v}\\&-\phantom{v^{3}}&&&&\\&v^{3}&+0 v^{2}&+v&&{\color{DeepPink}v} \left(v^{2}+1\right) = v^{3}+v\\\hline\\&&&- v&+0&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}v}&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{DeepPink}v^{3}}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{DeepPink}v^{3}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DeepPink}v}\\&-\phantom{v^{3}}&&&&\\&v^{3}&+0 v^{2}&+v&&{\color{DeepPink}v} \left(v^{2}+1\right) = v^{3}+v\\\hline\\&&&- v&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{v^{3}}{v^{2} + 1} = v + \frac{- v}{v^{2} + 1}$$$。