将 $$$u^{5}$$$ 除以 $$$u^{2} + 1$$$

将题目写成特殊格式（缺失项写为零系数）：

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

步骤 1

将被除式的首项除以除式的首项: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$。

从得到的结果中减去被除数：$$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Red}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Red}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Red}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

步骤 2

将所得余式的首项除以除式的首项: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$

将计算结果写在表格的上部。

将其乘以除数：$$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$。

从得到的结果中减去余数：$$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{Brown}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Brown}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

由于余式的次数小于除式的次数，故除法完成。

所得表格再次显示如下：

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Red}u^{3}}&{\color{Brown}- u}&&&&&\text{提示}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Red}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Red}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{Brown}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Brown}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{Brown}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

因此，$$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$。