Tekil Değer Ayrışımı Hesaplayıcısı

$$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]$$$ matrisinin SVD'sini bulun.

Matrisin transpozunu bulun: $$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T} = \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$ (adımlar için bkz. matris transpozu hesaplayıcı)

Matrisi transpozu ile çarpın: $$$W = \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$ (adımlar için bkz. matris çarpımı hesaplayıcısı).

Şimdi, $$$W$$$'nin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulun (adımlar için bkz. özdeğer ve özvektör hesaplayıcısı).

Özdeğer: $$$8$$$, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$.

Özdeğer: $$$2$$$, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$.

Özdeğer: $$$0$$$, özvektör: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$.

Sıfır olmayan özdeğerlerin kareköklerini bulun ($$$\sigma_{i}$$$):

$$$\sigma_{1} = 2 \sqrt{2}$$$

$$$\sigma_{2} = \sqrt{2}$$$

$$$\Sigma$$$ matrisi, köşegeninde $$$\sigma_{i}$$$ bulunan ve köşegen dışındaki tüm elemanları sıfır olan bir matristir: $$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$.

Matris $$$U$$$'in sütunları normalleştirilmiş (birim) vektörlerdir: $$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$$$ (birim vektör bulma adımları için bkz. unit vector calculator).

Şimdi, $$$v_{i} = \frac{1}{\sigma_{i}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{i}$$$:

$$$v_{1} = \frac{1}{\sigma_{1}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{6}}{3}\\\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{6}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6}\end{array}\right]$$$ (adımlar için bkz. matrisin skalerle çarpımı hesaplayıcısı ve matris çarpımı hesaplayıcısı).

$$$v_{2} = \frac{1}{\sigma_{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right]^{T}\cdot u_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}0 & \sqrt{2} & 0\\1 & 2 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{3}\\- \frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{\sqrt{3}}{3}\\0\\\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}\right]$$$ (adımlar için bkz. matrisin skalerle çarpımı hesaplayıcısı ve matris çarpımı hesaplayıcısı).

Artık sıfır olmayan $$$\sigma_{i}$$$ kalmadığından ve bir vektöre daha ihtiyacımız olduğundan, bulunan tüm vektörlere ortogonal olan vektörü, satırları bulunan vektörlerden oluşan matrisin sıfır uzayını bularak bulun: $$$\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\-1\\1\end{array}\right]$$$ (adımlar için bkz. sıfır uzayı hesaplayıcı).

Vektörü birimlendirin: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2}}{2}\\- \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{array}\right]$$$ olur, (adımlar için bkz. birim vektör hesaplayıcı).

Dolayısıyla, $$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right].$$$

$$$U$$$, $$$\Sigma$$$ ve $$$V$$$ matrisleri, başlangıç matrisi $$$\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\\sqrt{2} & 2 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right] = U \Sigma V^T$$$ olacak şekildedir.

$$$U = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & - \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{6}}{3} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & 0\\\frac{\sqrt{6}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & 0.577350269189626 & -0.707106781186548\\0.816496580927726 & -0.577350269189626 & 0\\0.408248290463863 & 0.577350269189626 & 0.707106781186548\end{array}\right]$$$A

$$$\Sigma = \left[\begin{array}{ccc}2 \sqrt{2} & 0 & 0\\0 & \sqrt{2} & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}2.82842712474619 & 0 & 0\\0 & 1.414213562373095 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$A

$$$V = \left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{6}}{6} & - \frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & - \frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{3} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.408248290463863 & -0.577350269189626 & 0.707106781186548\\0.866025403784439 & 0 & -0.5\\0.288675134594813 & 0.816496580927726 & 0.5\end{array}\right]$$$A