$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ fonksiyonunun kritik noktaları, ekstremumları ve eyer noktaları

$$$f{\left(x,y \right)} = e^{x y}$$$ fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve sınıflandırın.

İlk adım, tüm birinci mertebeden kısmi türevleri bulmaktır:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x y}\right) = y e^{x y}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x y}\right) = x e^{x y}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} y e^{x y} = 0 \\ x e^{x y} = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.

Sistemin aşağıdaki gerçek çözümü vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$.

Şimdi, bunu sınıflandırmayı deneyelim.

İkinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(e^{x y}\right) = y^{2} e^{x y}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(e^{x y}\right) = \left(x y + 1\right) e^{x y}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(e^{x y}\right) = x^{2} e^{x y}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = - \left(2 x y + 1\right) e^{2 x y}$$$ ifadesini tanımlayın.

$$$D{\left(0,0 \right)} = -1$$$ $$$0$$$'dan küçük olduğundan, $$$\left(0, 0\right)$$$'nin bir eyer noktası olduğu söylenebilir.

Yerel Maksimumlar

Yerel maksimum yok.

Yerel Minimumlar

Yerel minimum yok.

Eyer Noktaları

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A