$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=k$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = {\color{red}{k \int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{k}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{x}{k}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{k}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = k du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x}}} = k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}$$

Bu integralin (Sinüs integrali) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$k {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}} = k {\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{x}{k}$$$:

$$k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)} = k \operatorname{Si}{\left({\color{red}{\frac{x}{k}}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x} d x} = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)}+C$$

$$$\int \frac{k \sin{\left(\frac{x}{k} \right)}}{x}\, dx = k \operatorname{Si}{\left(\frac{x}{k} \right)} + C$$$A