$$$\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\, dt$$$.

$$$u=\cos{\left(t \right)} + 1$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{\prime }dt = - \sin{\left(t \right)} dt$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sin{\left(t \right)} dt = - du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- u\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = u$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- u\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u d u}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=1$$$ ile uygulayın:

$$- {\color{red}{\int{u d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\cos{\left(t \right)} + 1$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = - \frac{{\color{red}{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)}}^{2}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t} = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)} d t} = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2}+C$$

$$$\int \left(\cos{\left(t \right)} + 1\right) \sin{\left(t \right)}\, dt = - \frac{\left(\cos{\left(t \right)} + 1\right)^{2}}{2} + C$$$A