$$$\sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\, dx$$$.

$$$\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (adımlar için bkz. »).

O halde,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - \int{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}\right)}}$$

$$$\int{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}\right)^{\prime }dx=- \frac{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x} dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu hale gelir

$$x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - {\color{red}{\int{\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}}}=x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - {\color{red}{\left(\cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}}{x}\right) d x}\right)}}=x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - {\color{red}{\left(x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - \int{\left(- \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}\right)d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}$$$ ile uygula:

$$x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} + {\color{red}{\int{\left(- \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}\right)d x}}} = x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} + {\color{red}{\left(- \int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}\right)}}$$

Daha önce gördüğümüz bir integrale ulaştık.

Böylece, integrale ilişkin aşağıdaki basit denklemi elde ettik:

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x} = x \sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - \int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x}$$

Çözdüğümüzde, şunu elde ederiz

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x} = \frac{x \left(\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x} = \frac{x \left(\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\ln{\left(x \right)} \right)}\right)}{2}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\sin{\left(\ln{\left(x \right)} \right)} d x} = - \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\ln{\left(x \right)} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(\ln\left(x\right) \right)}\, dx = - \frac{\sqrt{2} x \cos{\left(\ln\left(x\right) + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + C$$$A