$$$x$$$ değişkenine göre $$$e^{a x}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int e^{a x}\, dx$$$.

$$$u=a x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(a x\right)^{\prime }dx = a dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{a}$$$ elde ederiz.

O halde,

$${\color{red}{\int{e^{a x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{a}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{a} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u} d u}}{a}}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{a} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{a}$$

Hatırlayın ki $$$u=a x$$$:

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{a} = \frac{e^{{\color{red}{a x}}}}{a}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{a x} d x} = \frac{e^{a x}}{a}+C$$

$$$\int e^{a x}\, dx = \frac{e^{a x}}{a} + C$$$A