$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}\, dx$$$.

$$$u=x y$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(x y\right)^{\prime }dx = y dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{y}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{y \cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{y}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{y \cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}{y}}}$$

İntegrand'ı sekant cinsinden yeniden yazın.:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y}$$

$$$\sec^{2}{\left(u \right)}$$$'nin integrali $$$\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u} = \tan{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{y} = \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{y}$$

Hatırlayın ki $$$u=x y$$$:

$$\frac{\tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{y} = \frac{\tan{\left({\color{red}{x y}} \right)}}{y}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}} d x} = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x y \right)}}\, dx = \frac{\tan{\left(x y \right)}}{y} + C$$$A