$$$\operatorname{asec}{\left(x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \operatorname{asec}{\left(x \right)}\, dx$$$.

$$$\int{\operatorname{asec}{\left(x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\operatorname{asec}{\left(x \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\operatorname{asec}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{\left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\operatorname{asec}{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\operatorname{asec}{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{\left|{x}\right|}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 1}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - \int{\frac{\left|{x}\right|}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x}\right)}}$$

$$$x=\cosh{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(\cosh{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sinh{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$ elde edilir.

İntegrand şu hale gelir

$$$\frac{\left|{x}\right|}{x \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{\cosh^{2}{\left( u \right)} - 1}}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\sinh{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\sqrt{\sinh^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sinh{\left( u \right)}}$$$

O halde,

$$x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{\left|{x}\right|}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$$x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$$:

$$x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - {\color{red}{u}} = x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - {\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(x \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\operatorname{asec}{\left(x \right)} d x} = x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(x \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\operatorname{asec}{\left(x \right)} d x} = x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \operatorname{asec}{\left(x \right)}\, dx = \left(x \operatorname{asec}{\left(x \right)} - \operatorname{acosh}{\left(x \right)}\right) + C$$$A