$$$\frac{2}{2 x - 1}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{2}{2 x - 1}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x - 1}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{2 x - 1} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{2 x - 1} d x}\right)}}$$

$$$u=2 x - 1$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x - 1\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 x - 1} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ ile uygula:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{2}{2 x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{2 x - 1}\right| \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{2}{2 x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{2 x - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{2}{2 x - 1}\, dx = \ln\left(\left|{2 x - 1}\right|\right) + C$$$A