$$$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx$$$.

$$$u=\frac{1}{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}\right)}}$$

$$$u=\sin{\left(v \right)}$$$ olsun.

O halde $$$du=\left(\sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cos{\left(v \right)} dv$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$ elde edilir.

Dolayısıyla,

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( v \right)}}$$$

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} d u}}} = - {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dv = c v$$$ sabit kuralını uygula:

$$- {\color{red}{\int{1 d v}}} = - {\color{red}{v}}$$

Hatırlayın ki $$$v=\operatorname{asin}{\left(u \right)}$$$:

$$- {\color{red}{v}} = - {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(u \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$- \operatorname{asin}{\left({\color{red}{u}} \right)} = - \operatorname{asin}{\left({\color{red}{\frac{1}{x}}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x} = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}\, dx = - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{x} \right)} + C$$$A