$$$y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy$$$.

$$$u=y^{2}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(y^{2}\right)^{\prime }dy = 2 y dy$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$y dy = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$${\color{red}{\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = u e^{\frac{u}{2}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{\mu}=u$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{\frac{u}{2}} du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{d\mu}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{\frac{u}{2}} d u}=2 e^{\frac{u}{2}}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$\frac{{\color{red}{\int{u e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \cdot 2 e^{\frac{u}{2}}-\int{2 e^{\frac{u}{2}} \cdot 1 d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(2 u e^{\frac{u}{2}} - \int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}$$$ ile uygula:

$$u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\int{2 e^{\frac{u}{2}} d u}}}}{2} = u e^{\frac{u}{2}} - \frac{{\color{red}{\left(2 \int{e^{\frac{u}{2}} d u}\right)}}}{2}$$

$$$v=\frac{u}{2}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\frac{u}{2}\right)^{\prime }du = \frac{du}{2}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$du = 2 dv$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{e^{\frac{u}{2}} d u}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = e^{v}$$$ ile uygula:

$$u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\int{2 e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - {\color{red}{\left(2 \int{e^{v} d v}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{v} d v} = e^{v}$$$:

$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{\int{e^{v} d v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 {\color{red}{e^{v}}}$$

Hatırlayın ki $$$v=\frac{u}{2}$$$:

$$u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{v}}} = u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{{\color{red}{\left(\frac{u}{2}\right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=y^{2}$$$:

$$- 2 e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} + {\color{red}{u}} e^{\frac{{\color{red}{u}}}{2}} = - 2 e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}} + {\color{red}{y^{2}}} e^{\frac{{\color{red}{y^{2}}}}{2}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = y^{2} e^{\frac{y^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{y^{2}}{2}}$$

Sadeleştirin:

$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}} d y} = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}}+C$$

$$$\int y^{3} e^{\frac{y^{2}}{2}}\, dy = \left(y^{2} - 2\right) e^{\frac{y^{2}}{2}} + C$$$A