$$$x^{15} \ln\left(x^{16}\right)$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int x^{15} \ln\left(x^{16}\right)\, dx$$$.

Girdi yeniden yazıldı: $$$\int{x^{15} \ln{\left(x^{16} \right)} d x}=\int{16 x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=16$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x^{15} \ln{\left(x \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{16 x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(16 \int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

$$$\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=x^{15} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{x^{15} d x}=\frac{x^{16}}{16}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$16 {\color{red}{\int{x^{15} \ln{\left(x \right)} d x}}}=16 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{16}}{16}-\int{\frac{x^{16}}{16} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=16 {\color{red}{\left(\frac{x^{16} \ln{\left(x \right)}}{16} - \int{\frac{x^{15}}{16} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{16}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x^{15}$$$ ile uygula:

$$x^{16} \ln{\left(x \right)} - 16 {\color{red}{\int{\frac{x^{15}}{16} d x}}} = x^{16} \ln{\left(x \right)} - 16 {\color{red}{\left(\frac{\int{x^{15} d x}}{16}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=15$$$ ile uygulayın:

$$x^{16} \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{x^{15} d x}}}=x^{16} \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 15}}{1 + 15}}}=x^{16} \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(\frac{x^{16}}{16}\right)}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{16 x^{15} \ln{\left(x \right)} d x} = x^{16} \ln{\left(x \right)} - \frac{x^{16}}{16}$$

Sadeleştirin:

$$\int{16 x^{15} \ln{\left(x \right)} d x} = x^{16} \left(\ln{\left(x \right)} - \frac{1}{16}\right)$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{16 x^{15} \ln{\left(x \right)} d x} = x^{16} \left(\ln{\left(x \right)} - \frac{1}{16}\right)+C$$

$$$\int x^{15} \ln\left(x^{16}\right)\, dx = x^{16} \left(\ln\left(x\right) - \frac{1}{16}\right) + C$$$A