$$$x e^{\frac{x}{5}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int x e^{\frac{x}{5}}\, dx$$$.

$$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x$$$ ve $$$\operatorname{dv}=e^{\frac{x}{5}} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{e^{\frac{x}{5}} d x}=5 e^{\frac{x}{5}}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{x e^{\frac{x}{5}} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot 5 e^{\frac{x}{5}}-\int{5 e^{\frac{x}{5}} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(5 x e^{\frac{x}{5}} - \int{5 e^{\frac{x}{5}} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=5$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{5}}$$$ ile uygula:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - {\color{red}{\int{5 e^{\frac{x}{5}} d x}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - {\color{red}{\left(5 \int{e^{\frac{x}{5}} d x}\right)}}$$

$$$u=\frac{x}{5}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{x}{5}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{5}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = 5 du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\int{e^{\frac{x}{5}} d x}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\int{5 e^{u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=5$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\int{5 e^{u} d u}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 5 {\color{red}{\left(5 \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{x}{5}$$$:

$$5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 e^{{\color{red}{u}}} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 e^{{\color{red}{\left(\frac{x}{5}\right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x} = 5 x e^{\frac{x}{5}} - 25 e^{\frac{x}{5}}$$

Sadeleştirin:

$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x} = 5 \left(x - 5\right) e^{\frac{x}{5}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{x e^{\frac{x}{5}} d x} = 5 \left(x - 5\right) e^{\frac{x}{5}}+C$$

$$$\int x e^{\frac{x}{5}}\, dx = 5 \left(x - 5\right) e^{\frac{x}{5}} + C$$$A