$$$\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx$$$.

$$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(x + \frac{\pi}{4}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\cot{\left(u \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\cot{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \csc^{2}{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\csc^{2}{\left(u \right)} du = - dv$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(v \right)} = \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

Kesri yeniden yazın ve parçalara ayırın:

$$- {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = - {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

Her terimin integralini alın:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dv = c v$$$ sabit kuralını uygula:

$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{\int{1 d v}}} = \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{v}}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$:

$$- v + {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = - v + {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$v=\cot{\left(u \right)}$$$:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} - {\color{red}{v}} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\cot{\left(u \right)}}} \right)} - {\color{red}{\cot{\left(u \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}} \right)} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = - \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = - \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}+C$$

$$$\int \cot^{2}{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx = \left(- \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} \right)}\right) + C$$$A