$$$t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt$$$.

$$$\int{t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} d t}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=t$$$ ve $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} dt$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} d t}=\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} d t}}}={\color{red}{\left(t \cdot \frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2}-\int{\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2} \cdot 1 d t}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \int{\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2} d t}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(t \right)} = \sin^{2}{\left(t \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{\sin^{2}{\left(t \right)}}{2} d t}}} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin^{2}{\left(t \right)} d t}}{2}\right)}}$$

Kuvvet indirgeme formülü $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$'i $$$\alpha=t$$$ ile uygula:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(t \right)} d t}}}}{2} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)d t}}}}{2}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(t \right)} = 1 - \cos{\left(2 t \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)d t}}}}{2} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(2 t \right)}\right)d t}}{2}\right)}}}{2}$$

Her terimin integralini alın:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(2 t \right)}\right)d t}}}}{4} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d t} - \int{\cos{\left(2 t \right)} d t}\right)}}}{4}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dt = c t$$$ sabit kuralını uygula:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{1 d t}}}}{4} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} + \frac{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{4} - \frac{{\color{red}{t}}}{4}$$

$$$u=2 t$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dt = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}}}{4} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{4} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{4}$$

Kosinüsün integrali $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{8} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{8}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 t$$$:

$$\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{8} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{8}$$

Dolayısıyla,

$$\int{t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{8}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} d t} = \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{8}+C$$

$$$\int t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}\, dt = \left(\frac{t \sin^{2}{\left(t \right)}}{2} - \frac{t}{4} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{8}\right) + C$$$A