$$$\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y}\, dy$$$.

$$$u=y^{\frac{5}{2}}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(y^{\frac{5}{2}}\right)^{\prime }dy = \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} dy$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$y^{\frac{3}{2}} dy = \frac{2 du}{5}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{u^{2} - 1}}{5 u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{2}{5}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{2 \sqrt{u^{2} - 1}}{5 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u} d u}}{5}\right)}}$$

$$$u=\cosh{\left(v \right)}$$$ olsun.

O halde $$$du=\left(\cosh{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \sinh{\left(v \right)} dv$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$v=\operatorname{acosh}{\left(u \right)}$$$ elde edilir.

İntegrand şu hale gelir

$$$\frac{\sqrt{ u ^{2} - 1}}{ u } = \frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}{\cosh{\left( v \right)}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1 = \sinh^{2}{\left( v \right)}$$$

$$$\frac{\sqrt{\cosh^{2}{\left( v \right)} - 1}}{\cosh{\left( v \right)}}=\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}{\cosh{\left( v \right)}}$$$

$$$\sinh{\left( v \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{\sqrt{\sinh^{2}{\left( v \right)}}}{\cosh{\left( v \right)}} = \frac{\sinh{\left( v \right)}}{\cosh{\left( v \right)}}$$$

İntegral şu hâle gelir

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{u^{2} - 1}}{u} d u}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)}}{\cosh{\left(v \right)}} d v}}}}{5}$$

Payı ve paydayı bir hiperbolik kosinüsle çarpın ve geri kalan her şeyi hiperbolik sinüs cinsinden yazın, $$$\cosh^2\left(\alpha \right)=\sinh^2\left(\alpha \right)+1$$$ formülünü $$$\alpha= v $$$ ile kullanarak:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)}}{\cosh{\left(v \right)}} d v}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)} \cosh{\left(v \right)}}{\sinh^{2}{\left(v \right)} + 1} d v}}}}{5}$$

$$$w=\sinh{\left(v \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dw=\left(\sinh{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \cosh{\left(v \right)} dv$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\cosh{\left(v \right)} dv = dw$$$ elde ederiz.

O halde,

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{\sinh^{2}{\left(v \right)} \cosh{\left(v \right)}}{\sinh^{2}{\left(v \right)} + 1} d v}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{w^{2}}{w^{2} + 1} d w}}}}{5}$$

Kesri yeniden yazın ve parçalara ayırın:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\frac{w^{2}}{w^{2} + 1} d w}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{w^{2} + 1}\right)d w}}}}{5}$$

Her terimin integralini alın:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{w^{2} + 1}\right)d w}}}}{5} = \frac{2 {\color{red}{\left(\int{1 d w} - \int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}\right)}}}{5}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dw = c w$$$ sabit kuralını uygula:

$$- \frac{2 \int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\int{1 d w}}}}{5} = - \frac{2 \int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}}{5} + \frac{2 {\color{red}{w}}}{5}$$

$$$\frac{1}{w^{2} + 1}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w} = \operatorname{atan}{\left(w \right)}$$$:

$$\frac{2 w}{5} - \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{1}{w^{2} + 1} d w}}}}{5} = \frac{2 w}{5} - \frac{2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(w \right)}}}}{5}$$

Hatırlayın ki $$$w=\sinh{\left(v \right)}$$$:

$$- \frac{2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{w}} \right)}}{5} + \frac{2 {\color{red}{w}}}{5} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\sinh{\left(v \right)}}} \right)}}{5} + \frac{2 {\color{red}{\sinh{\left(v \right)}}}}{5}$$

Hatırlayın ki $$$v=\operatorname{acosh}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{2 \sinh{\left({\color{red}{v}} \right)}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{v}} \right)} \right)}}{5} = \frac{2 \sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(u \right)}}} \right)}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sinh{\left({\color{red}{\operatorname{acosh}{\left(u \right)}}} \right)} \right)}}{5}$$

Hatırlayın ki $$$u=y^{\frac{5}{2}}$$$:

$$\frac{2 \sqrt{1 + {\color{red}{u}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{u}}}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{1 + {\color{red}{u}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{u}}} \right)}}{5} = \frac{2 \sqrt{1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}} \sqrt{-1 + {\color{red}{y^{\frac{5}{2}}}}} \right)}}{5}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y} d y} = \frac{2 \sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1} \right)}}{5}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y} d y} = \frac{2 \sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1} \right)}}{5}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{y^{5} - 1}}{y}\, dy = \left(\frac{2 \sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1}}{5} - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{y^{\frac{5}{2}} - 1} \sqrt{y^{\frac{5}{2}} + 1} \right)}}{5}\right) + C$$$A