$$$x$$$ değişkenine göre $$$\sin{\left(x^{2} + y \right)}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \sin{\left(x^{2} + y \right)}\, dx$$$.

Integrand fonksiyonunu yeniden yazın:

$${\color{red}{\int{\sin{\left(x^{2} + y \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}\right)d x}}}$$

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(\sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(y \right)} + \sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(y \right)} d x} + \int{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\cos{\left(y \right)}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x^{2} \right)}$$$ ile uygula:

$$\int{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} d x} + {\color{red}{\int{\sin{\left(x^{2} \right)} \cos{\left(y \right)} d x}}} = \int{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} d x} + {\color{red}{\cos{\left(y \right)} \int{\sin{\left(x^{2} \right)} d x}}}$$

Bu integralin (Fresnel Sinüs İntegrali) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$\cos{\left(y \right)} {\color{red}{\int{\sin{\left(x^{2} \right)} d x}}} + \int{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} d x} = \cos{\left(y \right)} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}} + \int{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} d x}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\sin{\left(y \right)}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(x^{2} \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} + {\color{red}{\int{\sin{\left(y \right)} \cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} + {\color{red}{\sin{\left(y \right)} \int{\cos{\left(x^{2} \right)} d x}}}$$

Bu integralin (Fresnel Kosinüs İntegrali) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$\sin{\left(y \right)} {\color{red}{\int{\cos{\left(x^{2} \right)} d x}}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} = \sin{\left(y \right)} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\sin{\left(x^{2} + y \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sin{\left(y \right)} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\sin{\left(x^{2} + y \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\sin{\left(y \right)} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right) + \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\sin{\left(x^{2} + y \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\sin{\left(y \right)} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right) + \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(x^{2} + y \right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \left(\sin{\left(y \right)} C\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right) + \cos{\left(y \right)} S\left(\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}{2} + C$$$A