$$$\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$$.

$$$u=\frac{x}{2}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = 2 du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sec^{4}{\left(u \right)} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \sec^{4}{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{2 \sec^{4}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sec^{4}{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

İki sekantı dışarı çıkarın ve kalan her şeyi tanjant cinsinden, $$$\alpha= u $$$ ile $$$\sec^2\left( \alpha \right)=\tan^2\left( \alpha \right) + 1$$$ formülünü kullanarak yazın.:

$$2 {\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\tan{\left(u \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\tan{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sec^{2}{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sec^{2}{\left(u \right)} du = dv$$$ elde ederiz.

O halde,

$$2 {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(v^{2} + 1\right)d v}}}$$

Her terimin integralini alın:

$$2 {\color{red}{\int{\left(v^{2} + 1\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{v^{2} d v}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dv = c v$$$ sabit kuralını uygula:

$$2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{\int{1 d v}}} = 2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{v}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=2$$$ ile uygulayın:

$$2 v + 2 {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}=2 v + 2 {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}=2 v + 2 {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$v=\tan{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{v}} + \frac{2 {\color{red}{v}}^{3}}{3} = 2 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}} + \frac{2 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}^{3}}{3}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{x}{2}$$$:

$$2 \tan{\left({\color{red}{u}} \right)} + \frac{2 \tan^{3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = 2 \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)} + \frac{2 \tan^{3}{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}}{3}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = \frac{2 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + C$$$A