$$$\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx$$$.

Bir tanjantı dışarı çıkarın ve geri kalan her şeyi sekant cinsinden, $$$\tan^2\left(x \right)=\sec^2\left(x \right)-1$$$ formülünü kullanarak yazın.:

$${\color{red}{\int{\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\sec{\left(x \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\sec{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx = du$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{u^{2} \left(u^{2} - 1\right) d u}}}$$

Expand the expression:

$${\color{red}{\int{u^{2} \left(u^{2} - 1\right) d u}}} = {\color{red}{\int{\left(u^{4} - u^{2}\right)d u}}}$$

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(u^{4} - u^{2}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u^{2} d u} + \int{u^{4} d u}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=4$$$ ile uygulayın:

$$- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\int{u^{4} d u}}}=- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\frac{u^{1 + 4}}{1 + 4}}}=- \int{u^{2} d u} + {\color{red}{\left(\frac{u^{5}}{5}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=2$$$ ile uygulayın:

$$\frac{u^{5}}{5} - {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=\frac{u^{5}}{5} - {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=\frac{u^{5}}{5} - {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\sec{\left(x \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} + \frac{{\color{red}{u}}^{5}}{5} = - \frac{{\color{red}{\sec{\left(x \right)}}}^{3}}{3} + \frac{{\color{red}{\sec{\left(x \right)}}}^{5}}{5}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} d x} = \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} d x} = \frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}+C$$

$$$\int \tan^{3}{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx = \left(\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}\right) + C$$$A