$$$\ln\left(4 x\right)$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \ln\left(4 x\right)\, dx$$$.

$$$u=4 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{4}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(4 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{4}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(u \right)}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

$$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{c} \operatorname{dv} = \operatorname{c}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dc}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{c}=\ln{\left(u \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=du$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{dc}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu hale gelir

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}}{4}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$$\frac{u \ln{\left(u \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{4} = \frac{u \ln{\left(u \right)}}{4} - \frac{{\color{red}{u}}}{4}$$

Hatırlayın ki $$$u=4 x$$$:

$$- \frac{{\color{red}{u}}}{4} + \frac{{\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = - \frac{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(4 x\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{4}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\ln{\left(4 x \right)} d x} = x \ln{\left(4 x \right)} - x$$

Sadeleştirin:

$$\int{\ln{\left(4 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + 2 \ln{\left(2 \right)}\right)$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\ln{\left(4 x \right)} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)} - 1 + 2 \ln{\left(2 \right)}\right)+C$$

$$$\int \ln\left(4 x\right)\, dx = x \left(\ln\left(x\right) - 1 + 2 \ln\left(2\right)\right) + C$$$A