$$$\ln^{3}\left(x\right)$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \ln^{3}\left(x\right)\, dx$$$.

$$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{3}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{3}\right)^{\prime }dx=\frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{3} \cdot x-\int{x \cdot \frac{3 \ln{\left(x \right)}^{2}}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{3} - \int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=3$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}^{2}$$$ ile uygula:

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - {\color{red}{\int{3 \ln{\left(x \right)}^{2} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - {\color{red}{\left(3 \int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}\right)}}$$

$$$\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}^{2}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}^{2}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)}^{2} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)}^{2} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \ln{\left(x \right)}}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)}^{2} - \int{2 \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ ile uygula:

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\int{2 \ln{\left(x \right)} d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 3 {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

$$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 {\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dx = c x$$$ sabit kuralını uygula:

$$x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 x \ln{\left(x \right)} - 6 {\color{red}{\int{1 d x}}} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 x \ln{\left(x \right)} - 6 {\color{red}{x}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x} = x \ln{\left(x \right)}^{3} - 3 x \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 x \ln{\left(x \right)} - 6 x$$

Sadeleştirin:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 \ln{\left(x \right)} - 6\right)$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\ln{\left(x \right)}^{3} d x} = x \left(\ln{\left(x \right)}^{3} - 3 \ln{\left(x \right)}^{2} + 6 \ln{\left(x \right)} - 6\right)+C$$

$$$\int \ln^{3}\left(x\right)\, dx = x \left(\ln^{3}\left(x\right) - 3 \ln^{2}\left(x\right) + 6 \ln\left(x\right) - 6\right) + C$$$A