$$$\ln\left(d\right)$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \ln\left(d\right)\, dd$$$.

$$$\int{\ln{\left(d \right)} d d}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(d \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=dd$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(d \right)}\right)^{\prime }dd=\frac{dd}{d}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{1 d d}=d$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{\ln{\left(d \right)} d d}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(d \right)} \cdot d-\int{d \cdot \frac{1}{d} d d}\right)}}={\color{red}{\left(d \ln{\left(d \right)} - \int{1 d d}\right)}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dd = c d$$$ sabit kuralını uygula:

$$d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{\int{1 d d}}} = d \ln{\left(d \right)} - {\color{red}{d}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \ln{\left(d \right)} - d$$

Sadeleştirin:

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\ln{\left(d \right)} d d} = d \left(\ln{\left(d \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(d\right)\, dd = d \left(\ln\left(d\right) - 1\right) + C$$$A