$$$\frac{\ln\left(x\right)}{\sqrt{x}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{\sqrt{x}}\, dx$$$.

$$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=\frac{dx}{\sqrt{x}}$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{\frac{1}{\sqrt{x}} d x}=2 \sqrt{x}$$$ (adımlar için bkz. »).

O halde,

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} d x}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot 2 \sqrt{x}-\int{2 \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}={\color{red}{\left(2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - \int{\frac{2}{\sqrt{x}} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$$ ile uygula:

$$2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{2}{\sqrt{x}} d x}}} = 2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{\sqrt{x}} d x}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=- \frac{1}{2}$$$ ile uygulayın:

$$2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{x}} d x}}}=2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{x^{- \frac{1}{2}} d x}}}=2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(2 x^{\frac{1}{2}}\right)}}=2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(2 \sqrt{x}\right)}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sqrt{x} \ln{\left(x \right)} - 4 \sqrt{x}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sqrt{x} \left(\ln{\left(x \right)} - 2\right)$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{\sqrt{x}} d x} = 2 \sqrt{x} \left(\ln{\left(x \right)} - 2\right)+C$$

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x} \left(\ln\left(x\right) - 2\right) + C$$$A