$$$x e^{5} \cos{\left(2 x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int x e^{5} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=e^{5}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{x e^{5} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{5} \int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}}$$

$$$\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=x$$$ ve $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(2 x \right)} dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$$ (adımlar için bkz. »).

Dolayısıyla,

$$e^{5} {\color{red}{\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}}=e^{5} {\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}-\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \cdot 1 d x}\right)}}=e^{5} {\color{red}{\left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$ ile uygula:

$$e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}}}\right) = e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}{2}\right)}}\right)$$

$$$u=2 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$$e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}}{2}\right) = e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right)$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$$e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right) = e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}\right)$$

Sinüsün integrali $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{4}\right) = e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{4}\right)$$

Hatırlayın ki $$$u=2 x$$$:

$$e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4}\right) = e^{5} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}\right)$$

Dolayısıyla,

$$\int{x e^{5} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) e^{5}$$

Sadeleştirin:

$$\int{x e^{5} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5}}{4}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{x e^{5} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5}}{4}+C$$

$$$\int x e^{5} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{\left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{5}}{4} + C$$$A