$$$y$$$ değişkenine göre $$$e^{\frac{y}{x}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$.

$$$u=\frac{y}{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dy = x du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=x$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{y}{x}$$$:

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A