$$$u$$$ değişkenine göre $$$e^{\frac{u}{v}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du$$$.

$$$w=\frac{u}{v}$$$ olsun.

Böylece $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$du = v dw$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{u}{v}} d u}}} = {\color{red}{\int{v e^{w} d w}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$'i $$$c=v$$$ ve $$$f{\left(w \right)} = e^{w}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{v e^{w} d w}}} = {\color{red}{v \int{e^{w} d w}}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{w} d w} = e^{w}$$$:

$$v {\color{red}{\int{e^{w} d w}}} = v {\color{red}{e^{w}}}$$

Hatırlayın ki $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v e^{{\color{red}{w}}} = v e^{{\color{red}{\frac{u}{v}}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{e^{\frac{u}{v}} d u} = v e^{\frac{u}{v}}+C$$

$$$\int e^{\frac{u}{v}}\, du = v e^{\frac{u}{v}} + C$$$A