$$$\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx$$$.

$$$u=e^{2 x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(e^{2 x}\right)^{\prime }dx = 2 e^{2 x} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$e^{2 x} dx = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

O halde,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}{2}\right)}}$$

$$$u=4 \sin{\left(v \right)}$$$ olsun.

O halde $$$du=\left(4 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 4 \cos{\left(v \right)} dv$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$ elde edilir.

İntegrand şu hale gelir

$$$\frac{1}{\sqrt{16 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{4 \cos{\left( v \right)}}$$$

İntegral şu hâle gelir

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dv = c v$$$ sabit kuralını uygula:

$$\frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{v}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{v}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}}}}{2}$$

Hatırlayın ki $$$u=e^{2 x}$$$:

$$\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{4} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{e^{2 x}}}}{4} \right)}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2} + C$$$A