$$$x$$$ değişkenine göre $$$a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=a d$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = {\color{red}{a d \int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\frac{x}{\left|{a}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\left|{a}\right|}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \left|{a}\right| du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$a d {\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\left|{a}\right|$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$ ile uygula:

$$a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}} = a d {\color{red}{\left|{a}\right| \int{e^{u^{2}} d u}}}$$

Bu integralin (İmajiner Hata Fonksiyonu) kapalı biçimli bir ifadesi yok:

$$a d \left|{a}\right| {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = a d \left|{a}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$:

$$\frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\frac{x}{\left|{a}\right|}}} \right)}}{2}$$

Dolayısıyla,

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2} + C$$$A