$$$e^{x} + e^{- x}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx$$$.

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{e^{- x} d x} + \int{e^{x} d x}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$:

$$\int{e^{- x} d x} + {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = \int{e^{- x} d x} + {\color{red}{e^{x}}}$$

$$$u=- x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = - du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$e^{x} + {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}} = e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=-1$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ ile uygula:

$$e^{x} + {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = e^{x} + {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Üstel fonksiyonun integrali $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$e^{x} - {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = e^{x} - {\color{red}{e^{u}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=- x$$$:

$$e^{x} - e^{{\color{red}{u}}} = e^{x} - e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = e^{x} - e^{- x}$$

Sadeleştirin:

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\left(e^{x} + e^{- x}\right)d x} = 2 \sinh{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \left(e^{x} + e^{- x}\right)\, dx = 2 \sinh{\left(x \right)} + C$$$A