$$$\csc{\left(3 x \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \csc{\left(3 x \right)}\, dx$$$.

$$$u=3 x$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = \frac{du}{3}$$$ elde ederiz.

İntegral şu hale gelir

$${\color{red}{\int{\csc{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\csc{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{3}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \csc{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{\csc{\left(u \right)}}{3} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\csc{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

Kosekantı $$$\csc\left( u \right)=\frac{1}{\sin\left( u \right)}$$$ olarak yeniden yazın:

$$\frac{{\color{red}{\int{\csc{\left(u \right)} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(u \right)}} d u}}}}{3}$$

Sinüsü çift açı formülünü kullanarak yeniden yazın $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(u \right)}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3}$$

Payı ve paydayı $$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} \right)$$$ ile çarpın.:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3}$$

$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2} du$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)} du = 2 dv$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} \right)}} d u}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{3}$$

$$$\frac{1}{v}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{3} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{3}$$

Hatırlayın ki $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{3} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} \right)}}}}\right| \right)}}{3}$$

Hatırlayın ki $$$u=3 x$$$:

$$\frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{3} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{3}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\csc{\left(3 x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right| \right)}}{3}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\csc{\left(3 x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \csc{\left(3 x \right)}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{3 x}{2} \right)}}\right|\right)}{3} + C$$$A