$$$\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}\, d\eta$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(\eta \right)}\, d\eta = c \int f{\left(\eta \right)}\, d\eta$$$'i $$$c=\cos{\left(2 \right)}$$$ ve $$$f{\left(\eta \right)} = \tanh{\left(\eta \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}} = {\color{red}{\cos{\left(2 \right)} \int{\tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}}$$

Hiperbolik tanjantı $$$\tanh\left(\eta\right)=\frac{\sinh\left(\eta\right)}{\cosh\left(\eta\right)}$$$ olarak yeniden yazın:

$$\cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\tanh{\left(\eta \right)} d \eta}}} = \cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(\eta \right)}}{\cosh{\left(\eta \right)}} d \eta}}}$$

$$$u=\cosh{\left(\eta \right)}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(\cosh{\left(\eta \right)}\right)^{\prime }d\eta = \sinh{\left(\eta \right)} d\eta$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$\sinh{\left(\eta \right)} d\eta = du$$$ elde ederiz.

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$\cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{\sinh{\left(\eta \right)}}{\cosh{\left(\eta \right)}} d \eta}}} = \cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \cos{\left(2 \right)} {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\cosh{\left(\eta \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} \cos{\left(2 \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cosh{\left(\eta \right)}}}}\right| \right)} \cos{\left(2 \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta} = \ln{\left(\cosh{\left(\eta \right)} \right)} \cos{\left(2 \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)} d \eta} = \ln{\left(\cosh{\left(\eta \right)} \right)} \cos{\left(2 \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(2 \right)} \tanh{\left(\eta \right)}\, d\eta = \ln\left(\cosh{\left(\eta \right)}\right) \cos{\left(2 \right)} + C$$$A