$$$u$$$ değişkenine göre $$$\cos{\left(\frac{u}{v} \right)}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du$$$.

$$$w=\frac{u}{v}$$$ olsun.

Böylece $$$dw=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime }du = \frac{du}{v}$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$du = v dw$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$'i $$$c=v$$$ ve $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{v \cos{\left(w \right)} d w}}} = {\color{red}{v \int{\cos{\left(w \right)} d w}}}$$

Kosinüsün integrali $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$v {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}} = v {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$w=\frac{u}{v}$$$:

$$v \sin{\left({\color{red}{w}} \right)} = v \sin{\left({\color{red}{\frac{u}{v}}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\cos{\left(\frac{u}{v} \right)} d u} = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{u}{v} \right)}\, du = v \sin{\left(\frac{u}{v} \right)} + C$$$A