$$$\cos^{2}{\left(t \right)}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$$$.

Kuvvet indirgeme formülü $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$'i $$$\alpha=t$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d t}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(2 t \right)} + 1$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 t \right)} + 1\right)d t}}{2}\right)}}$$

Her terimin integralini alın:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 t \right)} + 1\right)d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d t} + \int{\cos{\left(2 t \right)} d t}\right)}}}{2}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, dt = c t$$$ sabit kuralını uygula:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d t}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{t}}}{2}$$

$$$u=2 t$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dt = \frac{du}{2}$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$\frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}}}}{2} = \frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ ile uygula:

$$\frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

Kosinüsün integrali $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{t}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

Hatırlayın ki $$$u=2 t$$$:

$$\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{4}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\cos^{2}{\left(t \right)} d t} = \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\cos^{2}{\left(t \right)} d t} = \frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}+C$$

$$$\int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) + C$$$A