$$$5 \sqrt[3]{2 x + 4}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int 5 \sqrt[3]{2 x + 4}\, dx$$$.

İntegranı sadeleştirin:

$${\color{red}{\int{5 \sqrt[3]{2 x + 4} d x}}} = {\color{red}{\int{5 \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x + 2} d x}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=5 \sqrt[3]{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x + 2}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{5 \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{x + 2} d x}}} = {\color{red}{\left(5 \sqrt[3]{2} \int{\sqrt[3]{x + 2} d x}\right)}}$$

$$$u=x + 2$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(x + 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$5 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\int{\sqrt[3]{x + 2} d x}}} = 5 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\int{\sqrt[3]{u} d u}}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=\frac{1}{3}$$$ ile uygulayın:

$$5 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\int{\sqrt[3]{u} d u}}}=5 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\int{u^{\frac{1}{3}} d u}}}=5 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\frac{u^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1}}}=5 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\left(\frac{3 u^{\frac{4}{3}}}{4}\right)}}$$

Hatırlayın ki $$$u=x + 2$$$:

$$\frac{15 \sqrt[3]{2} {\color{red}{u}}^{\frac{4}{3}}}{4} = \frac{15 \sqrt[3]{2} {\color{red}{\left(x + 2\right)}}^{\frac{4}{3}}}{4}$$

Dolayısıyla,

$$\int{5 \sqrt[3]{2 x + 4} d x} = \frac{15 \sqrt[3]{2} \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{4}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{5 \sqrt[3]{2 x + 4} d x} = \frac{15 \sqrt[3]{2} \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{4}+C$$

$$$\int 5 \sqrt[3]{2 x + 4}\, dx = \frac{15 \sqrt[3]{2} \left(x + 2\right)^{\frac{4}{3}}}{4} + C$$$A