$$$2 x \ln\left(x^{2}\right)$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int 2 x \ln\left(x^{2}\right)\, dx$$$.

Girdi yeniden yazıldı: $$$\int{2 x \ln{\left(x^{2} \right)} d x}=\int{4 x \ln{\left(x \right)} d x}$$$.

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=4$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x \ln{\left(x \right)}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{4 x \ln{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{x \ln{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

$$$\int{x \ln{\left(x \right)} d x}$$$ integrali için, kısmi integrasyonu $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$ kullanın.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ ve $$$\operatorname{dv}=x dx$$$ olsun.

O halde $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$ (adımlar için bkz. ») ve $$$\operatorname{v}=\int{x d x}=\frac{x^{2}}{2}$$$ (adımlar için bkz. »).

İntegral şu hale gelir

$$4 {\color{red}{\int{x \ln{\left(x \right)} d x}}}=4 {\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}=4 {\color{red}{\left(\frac{x^{2} \ln{\left(x \right)}}{2} - \int{\frac{x}{2} d x}\right)}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=\frac{1}{2}$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = x$$$ ile uygula:

$$2 x^{2} \ln{\left(x \right)} - 4 {\color{red}{\int{\frac{x}{2} d x}}} = 2 x^{2} \ln{\left(x \right)} - 4 {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{2}\right)}}$$

Kuvvet kuralını $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ $$$n=1$$$ ile uygulayın:

$$2 x^{2} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\int{x d x}}}=2 x^{2} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=2 x^{2} \ln{\left(x \right)} - 2 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{4 x \ln{\left(x \right)} d x} = 2 x^{2} \ln{\left(x \right)} - x^{2}$$

Sadeleştirin:

$$\int{4 x \ln{\left(x \right)} d x} = x^{2} \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{4 x \ln{\left(x \right)} d x} = x^{2} \left(2 \ln{\left(x \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int 2 x \ln\left(x^{2}\right)\, dx = x^{2} \left(2 \ln\left(x\right) - 1\right) + C$$$A