$$$\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\, dx$$$.

$$$x=3 \sin{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(3 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 3 \cos{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$ elde edilir.

O halde,

$$$\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{3 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{3 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{3 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{3 \cos{\left( u \right)}}$$$

İntegral şu hâle gelir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)} + C$$$A