$$$x$$$ değişkenine göre $$$\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}$$$ fonksiyonunun integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}\, dx$$$.

$$$x=\sqrt{a} \sin{\left(u \right)}$$$ olsun.

O halde $$$dx=\left(\sqrt{a} \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sqrt{a} \cos{\left(u \right)} du$$$ (adımlar » görülebilir).

Ayrıca, buradan $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$$ elde edilir.

Dolayısıyla,

$$$\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{- a \sin^{2}{\left( u \right)} + a}}$$$

Özdeşliği kullanın: $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$

$$$\frac{1}{\sqrt{- a \sin^{2}{\left( u \right)} + a}}=\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ olduğunu varsayarsak, aşağıdakileri elde ederiz:

$$$\frac{1}{\sqrt{a} \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\sqrt{a} \cos{\left( u \right)}}$$$

İntegral şu şekilde yeniden yazılabilir

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{1 d u}}}$$

$$$c=1$$$ kullanarak $$$\int c\, du = c u$$$ sabit kuralını uygula:

$${\color{red}{\int{1 d u}}} = {\color{red}{u}}$$

Hatırlayın ki $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$$:

$${\color{red}{u}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}}}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}} d x} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{a - x^{2}}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{\sqrt{a}} \right)} + C$$$A