$$$\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Hiperbolik fonksiyonu üstel fonksiyon cinsinden yeniden yazın.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}} d x}}}$$

İntegranı sadeleştirin:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{e^{x} + e^{- x}} d x}}}$$

Sabit katsayı kuralı $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$'i $$$c=2$$$ ve $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{e^{x} + e^{- x}}$$$ ile uygula:

$${\color{red}{\int{\frac{2}{e^{x} + e^{- x}} d x}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}\right)}}$$

Simplify:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{e^{x} + e^{- x}} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}}$$

$$$u=e^{x}$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(e^{x}\right)^{\prime }dx = e^{x} dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$e^{x} dx = du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$2 {\color{red}{\int{\frac{e^{x}}{e^{2 x} + 1} d x}}} = 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}} = 2 {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=e^{x}$$$:

$$2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left({\color{red}{e^{x}}} \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x} = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{\cosh{\left(x \right)}} d x} = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\cosh{\left(x \right)}}\, dx = 2 \operatorname{atan}{\left(e^{x} \right)} + C$$$A