$$$\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}$$$'nin integrali

Bulun: $$$\int \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}\, dx$$$.

Kısmi kesirlere ayrıştırma yapın (adımlar » görülebilir):

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}\right)d x}}}$$

Her terimin integralini alın:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{1}{x - 3} d x} - \int{\frac{1}{x - 2} d x}\right)}}$$

$$$u=x - 3$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(x - 3\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = du$$$ elde ederiz.

Dolayısıyla,

$$- \int{\frac{1}{x - 2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 3} d x}}} = - \int{\frac{1}{x - 2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{x - 2} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - \int{\frac{1}{x - 2} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=x - 3$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x - 2} d x} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 3\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x - 2} d x}$$

$$$u=x - 2$$$ olsun.

Böylece $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (adımlar » görülebilir) ve $$$dx = du$$$ elde ederiz.

O halde,

$$\ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 2} d x}}} = \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$'nin integrali $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Hatırlayın ki $$$u=x - 2$$$:

$$\ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}\right| \right)}$$

Dolayısıyla,

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} d x} = \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}$$

İntegrasyon sabitini ekleyin:

$$\int{\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} d x} = \ln{\left(\left|{x - 3}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}\, dx = \left(\ln\left(\left|{x - 3}\right|\right) - \ln\left(\left|{x - 2}\right|\right)\right) + C$$$A